Krátka odpoveď

case class Behavior[S](step: S => Behavior[S])

Dlhá odpoveď (krátka verzia)

Terminál F-Coalgebras sú celkom v pohode.

Dlhá odpoveď

Varovanie: veľa z ostnatého drôtu & co-banány, alebo niečo...

Ok, tak predpokladajme, že máte pojem functor F že zachytí to, čo to znamená, že vaše správanie sa "to niečo". Vo väčšine knižníc je niečo ako toto:

trait Functor[F[_]]:
  def map[A, B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]

E F-coalgebra A je v podstate len funkcia z A na F[A]:

trait FCoalg[F[_]: Functor, A]:
  def apply(a: A): F[A]

Teraz, terminál F-coalgebra T je F-coalgebra, ktoré navyše má vlastnosť, že od každej inej F-coalgebra A tam je sprostredkovanie morphism A => T (ako, že všetko, čo tratiach, bla bla):

trait TerminalFCoalg[F[_]: Functor, T] extends FCoalg[F, T]:
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => T

Môžeme ho pre svojvoľné F? Ukazuje sa môžeme:

case class TerminalFCoalgCarrier[F[_]: Functor](
  step: () => F[TerminalFCoalgCarrier[F]]
)

given tfcImpl[F[_]: Functor]: TerminalFCoalg[F, TerminalFCoalgCarrier[F]] with
  def apply(a: TerminalFCoalgCarrier[F]): F[TerminalFCoalgCarrier[F]] = a.step()
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => TerminalFCoalgCarrier[F] = a =>
    TerminalFCoalgCarrier(() => summon[Functor[F]].map(coalg(a))(mediate(coalg)))

Kvôli konkrétnym príkladom, poďme sa pozrieť, čo to mašinka sa pre najjednoduchšie predstaviteľné functor Option:

given Functor[Option] with
  def map[A, B](fa: Option[A])(f: A => B): Option[B] = fa.map(f)

type ConaturalNumber = TerminalFCoalgCarrier[Option]

Ukazuje sa, že terminál F-coalgebra pre Option sú tzv conatural čísla. Tieto sú v podstate prirodzené čísla, plus počítateľné infinity. Tieto veci sú pekne vhodný na zastupovanie dĺžky potenciálne nekonečné "kliknutím" procesov.

Poďme to vyskúšať na obmedzený správanie:

enum WelshCounting:
  case Eeny
  case Meeny
  case Miny
  case Moe

object WelshCountingOptionCoalg extends FCoalg[Option, WelshCounting]:
  def apply(w: WelshCounting): Option[WelshCounting] =
    import WelshCounting._
    w match
      case Eeny => None
      case Meeny => Some(Eeny)
      case Miny => Some(Meeny)
      case Moe => Some(Miny)

val welshMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
  .mediate(WelshCountingOptionCoalg)

Teraz, vyššie uvedené stroje automaticky dáva nám univerzálny spôsob, ako prekladať tých, počítanie slov do conatural čísla. Poďme pridať helper metóda pre opis conatural čísla (približne):

def describe(c: ConaturalNumber): String =
  var counter = 0
  var curr = c
  while true do
    curr.step() match
      case None => return s"${counter}"
      case Some(next) =>
        if counter > 42 then
          return "probably infinite"
        else {
          counter += 1
          curr = next
        }
  throw new Error("We have counted to infinity, yay! :D")

Čo to show pre Waleský počítanie slov?

@main def demo(): Unit =
  for w <- WelshCounting.values do
    val conat = welshMediatingMorphism(w)
    println(s"${w} -> ${describe(conat)}")

// Eeny -> 0
// Meeny -> 1
// Miny -> 2
// Moe -> 3

Ok, to je čistý. Skúsme nekonečne kliknutím proces s len jeden štát, ktorý je nástupcom o sebe:

object LoopForever extends FCoalg[Option, Unit]:
  def apply(u: Unit) = Some(())

val loopForeverMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(LoopForever)

Ako by to teraz popísať v jednom štáte, ()?

println(s"${()} -> ${describe(loopForeverMediatingMorphism(()))}")
// () -> probably infinite

Zdá sa do práce.

Celý kód:

trait Functor[F[_]]:
  def map[A, B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]

trait FCoalg[F[_]: Functor, A]:
  def apply(a: A): F[A]

trait TerminalFCoalg[F[_]: Functor, T] extends FCoalg[F, T]:
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => T

case class TerminalFCoalgCarrier[F[_]: Functor](
  step: () => F[TerminalFCoalgCarrier[F]]
)

given tfcImpl[F[_]: Functor]: TerminalFCoalg[F, TerminalFCoalgCarrier[F]] with
  def apply(a: TerminalFCoalgCarrier[F]): F[TerminalFCoalgCarrier[F]] = a.step()
  def mediate[A](coalg: FCoalg[F, A]): A => TerminalFCoalgCarrier[F] = a =>
    TerminalFCoalgCarrier(() => summon[Functor[F]].map(coalg(a))(mediate(coalg)))

given Functor[Option] with
  def map[A, B](fa: Option[A])(f: A => B): Option[B] = fa.map(f)

type ConaturalNumber = TerminalFCoalgCarrier[Option]

def describe(c: ConaturalNumber): String =
  var counter = 0
  var curr = c
  while true do
    curr.step() match
      case None => return s"${counter}"
      case Some(next) =>
        if counter > 42 then
          return "probably infinite"
        else {
          counter += 1
          curr = next
        }
  throw new Error("We cannot count to infinity :(")

enum WelshCounting:
  case Eeny
  case Meeny
  case Miny
  case Moe

object WelshCountingOptionCoalg extends FCoalg[Option, WelshCounting]:
  def apply(w: WelshCounting): Option[WelshCounting] =
    import WelshCounting._
    w match
      case Eeny => None
      case Meeny => Some(Eeny)
      case Miny => Some(Meeny)
      case Moe => Some(Miny)

val welshMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(WelshCountingOptionCoalg)

object LoopForever extends FCoalg[Option, Unit]:
  def apply(u: Unit) = Some(())

val loopForeverMediatingMorphism =
  summon[TerminalFCoalg[Option, TerminalFCoalgCarrier[Option]]]
    .mediate(LoopForever)

@main def demo(): Unit =
  for w <- WelshCounting.values do
    val conat = welshMediatingMorphism(w)
    println(s"${w} -> ${describe(conat)}")

  println(s"${()} -> ${describe(loopForeverMediatingMorphism(()))}")